sábado, 12 de octubre de 2013

3.4 Líneas y superficies curvas.

Planos

Veamos primero algunos planos que nos van a ser útiles un poco más adelante.
$\bullet \;$ El plano (horizontal) $xy$, donde $z = 0$;

$\bullet \;$ El plano (vertical) $yz$, donde $x = 0$

$\bullet \;$ El plano (vertical) $xz$, donde $y = 0$



Curvas en el espacio
Vamos a considerar curvas en el espacio tridimensional, pero definidas sobre uno de los planos $XY$, $XZ$ o $YZ$ y con ecuaciones del tipo: 
  1. en el plano $XY$, $y=y(x)$ o $x=x(y)$ o definidas de manera implícita por $\;F(x,y) = 0$
  2. en el plano $XZ$, $z=z(x)$ o $x=x(z)$ o definidas de manera implícita por $\;F(x,z) = 0$
  3. en el plano $YZ$, $z=z(y)$ o $y=y(z)$ o definidas de manera implícita por $\;F(y,z) = 0$



Superficies cilíndricas
Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7,  la curva generatriz es una párabola y como  directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.

Observación : esta definición es una generalización del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es $x^2+y^2=r^2$ que esta sobre el plano $xy\;$ y la directriz es paralela al eje $z$.Para los fines del curso, vamos a estar interesados únicamente en cilindros cuyas curvas generatrices están sobre planos paralelos a los planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes coordenados.Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos.Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo. 
Un cilindro circular recto tiene como generatriz un círculo y como recta directriz una recta paralela a uno de los ejes coordenados.En la figura 7 se muestra un cilindro con generatriz; $x^2 + z^2 = 4, \; \; y = 0\;$ y con recta directriz paralela al eje $y$.



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